如何使用维纳滤波进行图像复原
维纳滤波是一种自适应最小均方误差滤波器，它可以处理被退化函数退化和噪声污染的图像。维纳滤波的基本原理是：设观察信号
\(
y(t)
\)
含有彼此统计独立的期望信号
\(
x(t)
\)
和白噪声
\(
w(t)
\)，可用维纳滤波从观察信号
\(
y(t)
\)
中恢复期望信号
\(
x(t)
\)
。设线性滤波器的冲击响应为
\(
h(t)
\)，此时其输入
\(
y(t)
\)
为
\(
y(t)=x(t)+w(t)
\)，输出为
\(
z(t)=h(t)y(t)
\)。从而，可以得到输出对
\(
x(t)
\)
期望信号的误差为其均方误差为：\(
E[|z(t)x(t)|^2]
\)。应用数学方法求最小均方误差时的线性滤波器的冲击响应
\(
h_{opt}(t)
\)
可得如图方程：式中，\(
R_{yx}(t)
\)
为
\(
y(t)
\)
与
\(
x(t)
\)
的互相关函数，\(
R_{yy}(\tau\sigma)
\)
为
\(
y(t)
\)
的自相关函数。上述方程称为维纳霍夫（WienerHopf）方程。求解维纳霍夫方程可以得到最佳滤波器的冲击响应
\(
h_{opt}(t)
\)
。
在图像复原中，维纳滤波器是一种自适应最小均方误差滤波器，它最终的目的是使得复原图像和原始图像的均方误差最小。维纳滤波器可以通过以下步骤进行图像复原：
1.建立退化模型：图像退化模型为
\(
g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)+n(x,y)
\)，其中
\(
f(x,y)
\)
为原始图像，\(
h(x,y)
\)
为退化函数，\(
n(x,y)
\)
为噪声函数。目标就是根据观测图像
\(
g(x,y)
\)
以及一些先验或者估计信息复原
\(
f(x,y)
\)
。
2.估计退化函数：图像复原的核心内容就是估计退化函数，因为当噪声
\(
N
\)
估计退化函数维纳滤波在图像复原中的应用。
3.频域维纳滤波：利用时域卷积等价于频域相乘的性质，可以得到误差的频域表达式为
\(
E(w_k)=D(w_k)\widehat{D}(w_k)=D(w_k)H(w_k)Y(w_k)
\)，其中
\(
H(w_k)=\frac{P_{dy}(w_k)}{P_{yy}(w_k)}
\)，其中
\(
P_{dy}
\)
是
\(
y(n)
\)
和
\(
d(n)
\)
的互功率谱，\(
P_{yy}
\)
是
\(
y(n)
\)
的功率谱。在图像复原中，一般假设输入图像
\(
y(n)
\)
由干净语音
\(
x(n)
\)
和噪声信号
\(
n(n)
\)
组成，
\(
y(n)=x(n)+n(n)
\)，且假设噪声和语音不相关
。
4.求解维纳霍夫方程：利用上述模型和频域表达式，可以求解维纳霍夫方程，得到最佳滤波器的冲击响应
\(
h_{opt}(t)
\)，从而实现图像的复原
。
需要注意的是，维纳滤波对滤波和预测理论的开拓，影响着以后这一领域的发展。然而，在一般情况下，求解上述方程是有一定困难的，因此这在一定程度上限制了这一滤波理论的应用
。
以上就是使用维纳滤波进行图像复原的基本步骤和原理。
